Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ ．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；
（3）试判断方程x3﹣2016x+16=0在区间（0，+∞）上解的个数并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．

①a=0时，f（﹣x）=x2=f（x），∴f（x）是偶函数．

②a≠0时，f（﹣x）≠±f（x），∴f（x）是非奇非偶函数

（2）解：当a=16时，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =（x1﹣x2） ，

∵0＜x1＜x2≤2，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，0＜x1+x2＜4．

∴（x1﹣x2） ＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数

（3）解：结论：方程在（0，+∞）上共有两个解．

证明：当a=16时，任取2≤x1＜x2，则同理可证f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．

∴x3﹣2016x+16=0在的解即为方程x2+ ﹣2016=0，x∈（0，+∞）的解．

令g（x）=f（x）﹣2016，

∴当x∈（0，2）时，由 =16000+ ＞2016得 ＞0．

且f（2）=12＜2016得g（2）＜0，

又g（x）的图象在x∈（0，2]的解上是不间断的曲线，由零点存在定理知函数在x∈[0，2]上有一个零点，又由g（x）在x∈（0，2]上是单调递减函数，所以函数在[0，2]上只有一个零点．

当x∈（2，+∞）时，由f（2）=12＜2016，且f（1000）＞0且f（x）在x∈[2，+∞）上是单调递增函数得g（2）＜0，

g（1000）＞0，g（x）的图象在（2，+∞）上是不间断的曲线，

由零点存在定理知函数在x∈[2，+∞）有一个零点，又由g（x）在x∈（2，+∞）调递增知函数在x∈（2，+∞）只有一个零点

【解析】（1）对a分类讨论，计算f（﹣x）与±f（x）的关系即可判断出奇偶性．（2）当a=16时，f（x）=x2+ ，任取0＜x1＜x2≤2，作差f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2） ，判断符号即可证明．（3）利用函数的单调性、函数零点判定定理即可得出．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．