Question

如图，已知△ABCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E是AC的中点．
（Ⅰ）若F是AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AF=2FD，求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF，说明EF?平面BEF，即可证明平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）求出平面BEF与平面BCD，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系C-xyz，则
B（2，0，0），D（0，

3

，0），A（2，0，

3

）
∵

AE

EC

=1，∴E（1，0，

3

2

）
∵

AF

FD

=2，∴F（

2

3

，

2

3

3

，

3

3

）
∴

BE

=（-1，0，

3

2

），

BF

=(-

4

3

，

2

3

3

，

3

3

)，
设

n

=（x，y，z），则

n

⊥平面BEF，∴

-x+ 3 2 z=0 - 4x 3 + 2 3 3y + 3 3 z=0

，取

n

=(

3

2

，

1

2

，1)
∵平面BCD的法向量是

m

=（0，0，1），∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2

2

∴平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°．

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．