Question

已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．

解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．
∴当0＜x≤a²时，f（x）=a²-x+3a²-x-4a²=-2x；
当a²＜x≤3a²时，f（x）=x-a²+3a²-x-4a²=-2a²；
当x＞3a²时，f（x）=x-a²+x-3a²-4a²=2x-8a²．
画出其图象如下：

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），
∴8a²≤2，
解得a∈[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．