Question

已知函数f（x），对任意的x∈R，满足f（-x）+f（x）=0，f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=ax，若方程f（x）-lgx=0恰有五个实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-lg11，-lg7）∪（2lg3，lg13）
• B、（-2lg3，-lg7）∪（lg11，lg13）
• C、（-lg13，-lg11）∪（lg7，2lg3）
• D、（-lg13，-2lg3）∪（lg7，lg11）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件得到函数f（x）的奇偶数，对称性和周期性，作出函数f（x）和y=lgx的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x）则函数f（x）是奇函数，
由f（2-x）=f（x），则函数关于x=1对称，且f（2-x）=f（x）=-f（x-2），
则f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则函数f（x）的周期是4．
若方程f（x）-lgx=0恰有五个实根，
则等价为若方程f（x）=lgx恰有五个实根，即函数f（x）和y=lgx有5个交点，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=ax
∴当x∈[-1，0]时，f（x）=-f（-x）=ax，即当x∈[-1，1]时，f（x）=ax，
作出函数f（x）和y=g（x）=lgx的图象如图：
若函数f（x）和y=lgx有5个交点，
则当a＞0时，则满足

f(9)＞g(9) f(13)＜g(13)

，即

f(9)=f(1)=a＞lg9 f(13)=f(1)=a＜lg13

，
解得lg9＜a＜lg13，即2lg3＜a＜lg13，
若a＜0，则满足

f(11)＜g(11) f(7)＞g(7)

，即

f(11)=f(-1)=-a＜lg11 f(7)=f(-1)=-a＞lg7

，解得

a＞-lg11 a＜-lg7

，即-lg11＜a＜-lg7，
综上实数a的取值范围是（-lg11，-lg7）∪（2lg3，lg13），
故选：A

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数奇偶性和对称性以及周期性的性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．