Question

函数f（x）=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx，（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象上每个点的横坐标缩小为原来的

π

4

倍（纵坐标不变），再向右平移

π

3

个单位得到函数g（x），若设g（x）图象在y轴右侧第一个最高点为P，试问g（x）图象上是否存在点Q（θ，g（θ））（π＜θ＜2π），使得OP⊥OQ，若存在请求出满足条件的点Q的个数，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=2

3

sin(ωx+

π

3

)，由|BC|=4可求得ω=

π

4

，从而确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ+24sinθ=0（π＜θ＜2π），问题转化为研讨函数h（x）=πx+24sinx（π＜x＜2π）零点个数，根据零点判定定理即可求得．

解答： 解：（1）由已知得：f(x)=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx=

3

sinωx+3cosωx
=2

3

sin(ωx+

π

3

)
∵A为图象的最高点，∴A的纵坐标为2

3

又∵△ABC为正三角形，所以|BC|=4
∴

T

2

=4可得T=8即

2π

ω

=8得ω=

π

4

∴f(x)=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
（2）由题意可得g(x)=2

3

sinx，P(

π

2

，2

3

)
法一：作出如右图象，由图象可知满足条件的点Q是存在的，而且有两个

注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分．
法二：由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ=-24sinθ（π＜θ＜2π），
由此作出函数y=πx（π＜x＜2π）及y=-24sinx（π＜x＜2π）图象，由图象可知满足条件的Q点有两个．

注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足．
法三：由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ+24sinθ=0（π＜θ＜2π），问题转化为研讨函数h（x）=πx+24sinx（π＜x＜2π）零点个数．
∵h'（x）=π+24cosx，h''（x）=-24sinx
当π＜x＜2π时，h''（x）＞0恒成立，从而说明函数h'（x）在（π，2π）中是单调递增函数，
又h'（π）＜0，h'（2π）＞0故存在θ₀∈（π，2π），使得h'（θ₀）=0，
从而函数h（x）在区间（π，θ₀）单调递减，在区间（θ₀，2π）单调递增，
又h(π)＞0，h(2π)＞0，h(

3

2

π)＜0，由零点存在定理得函数h（x）在区间(π，

3π

2

)和区间(

3π

2

，2π)上各有一个零点．
注：该方法解题严密，但对学生数学素养要求较高．本题还有其他不少做法，大家可以再去研讨．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考察了数形结合，属于中档题．