Question

（2012•湖南模拟）已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，a _n+1=

3an+5，an为奇数 an 2k ，an为偶数

其中k为使a_n+1为奇数的正整数．
（1）当a₁=11 时，a₂₀₁₂=

152（即a₈）

（2）若存在m∈N⁺，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为

1或5

．

Answer 1

分析：由题设分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，故a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄；由若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，知a_n=p，再由数列{a_n}的各项均为正整数，能求出p．

解答：解：由题知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
a3=

38

2

=19
a₄=3×19+5=62，
ta5=

62

2

=31，
a₆=3×31+5=98，
a7=

98

2

=49，
a₈=3×49+5=152，
a9=

152

23

=19
∴{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，
∴a₂₀₁₂=a₈=152．
若存在m∈N^*，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，
则a_n=p，a_n+1=3p+5，
∴（3-2^k）p=-5，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，
∴当k=2时，p=5，
当k=3时，p=1．
故答案为：152，1或5．

点评：本题考查数列的递推公式的性质和应用，解题时分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔细观察能够发现{a_n}从第3项开始是周期为6的周期数列，借助数列的周期性进行求解．