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对于二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得f(c)>0,则实数p的取值范围是
(-3,1.5)
(-3,1.5)
分析:由于二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1的图象是开口方向朝上的抛物线,故二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定为对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,即f(-1),f(1)均小于等0,由此可以构造一个关于p的不等式组,解不等式组即可求出实数p的取值范围.
解答:解:二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是:
对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0,
f(1)≤0
f(-1)≤0

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0
4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

整理得
2p2+3p-9≥0
2p2-p-1≥0

解得p≥
3
2
,或p≤-3,
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,
使f(c)>0的实数p的取值范围是 (-3,
3
2
).
点评:本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0时,
f(1)≤0
f(-1)≤0
是解答本题的关键.
练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).
(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,
①对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,求证:k=f′(x0);
②对于“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.

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①③
①③
.(写出所有正确命题的序号)

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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).
(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为C(x,y),记直线AB的斜率为k,
①对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,求证:k=f′(x);
②对于“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.

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