Question

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）．

Answer 1

分析：先将二次函数配方得：-4(x-

a

2

)2-4a，下面对对称轴与所给区间的位置关系进行讨论，对每一种情况求出相应的最大值，再利用题中条件：“有最大值-5”得方程即可求得a值，从而进一步求得函数表达式f（x）．

解答：解∵f（x）=-4(x-

a

2

)2-4a，此抛物线顶点为(

a

2

，-4a)．
当

a

2

≥1，即a≥2时，f（x）取最大值-4-a²．令-4-a²=-5，得a²=1，a=±1＜2（舍去）．
当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，x=

a

2

时，f（x）取最大值为-4a，令-4a=-5，得a=

5

4

∈（0，2）．
当

a

2

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为-4a-a²，
令-4a-a²=-5，得a2+4a²-5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]．
综上所述，a=

5

4

或a=-5时，f（x）在[0，1]内有最大值-5．
∴f（x）=-4x²+5x-

25

16

或f（x）=-4x²-20x-5．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．