Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，cosωx），若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当λ=1时，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值和最小值，并求相应的x值；
（3）当x∈[0，$\frac{3π}{5}$]，函数f（x）有两个零点，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算，利用三角函数的图象与性质求出ω的值，即可计算函数f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函数的图象与性质求出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及对应的x值；
（3）根据正弦函数的图象与性质，结合函数零点的概念，即可求出λ的取值范围．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sinωx，cosωx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ
=sin²ωx+（2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx-λ
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-cos²ωx-λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-λ
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ；
由f（x）的图象关于直线x=π对称，可得sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=±1，
令2ω•π-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，得ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$，
结合ω∈（$\frac{1}{2}$，1），可得ω=$\frac{5}{6}$；
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2×\frac{5}{6}}$=$\frac{6π}{5}$；
（2）当λ=1时，f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-1，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即-2≤f（x）≤1；
∴f（x）的最大值是1，最小值是-2；
并且x=0时f（x）取得最小值-2，
x=$\frac{2π}{5}$时f（x）取得最大值1；
（3）令y=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$），x∈[0，$\frac{3π}{5}$]，
则$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
又函数f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-λ有两个零点，
则实数λ的取值范围是1≤λ＜2．

点评 本题主要考查了平面向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．