分析 （1）求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，利用待定系数法求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$），消去a，求圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2），由此求出点N（0，$\frac{3}{2}$），对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数，再进行证明即可．
解答 解：（1）令x=0，得曲线与y轴的交点是（0，-a2），
令y=0，则$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{a}{2}$x-a2=0，解得x=-2a或x=a，
∴曲线与x轴的交点是（-2a，0），（a，0）．
设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}-E{a}^{2}+F=0}\\{{a}^{2}+Da+F=0}\\{4{a}^{2}-2Da+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=a，E=a2-2，F=-2a2，
∴圆的一般方程为x2+y2+ax+（a2-2）y-2a2=0；
（2）由（1）可得C（-$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$）
设C（x，y），则x=-$\frac{1}{2}a$，y=$\frac{1}{2}（2-{a}^{2}）$，消去a，得到y=1-2x2，
∵a≠0，
∴x≠0，
∴圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1-2x2（x≠0）；
（3）若a=0，圆C的方程为x2+（y-1）2=1，
令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2）
由题意设y轴上的点N（0，t）（t≠3），
当P与圆C的交点为（0，2）时，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t-2|}{1}$，
当P与圆C的交点为（0，0）时，$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{|t|}{3}$，
由题意，$\frac{|t-2|}{1}$=$\frac{|t|}{3}$，∴t=$\frac{3}{2}$（t=3舍去）
下面证明点N（0，$\frac{3}{2}$），对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数
设P（x，y），则x2+（y-1）2=1，
∴$\frac{|PN{|}^{2}}{|PM{|}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}$=$\frac{1}{2}$，
∴在y轴上存在定点N（0，$\frac{3}{2}$），满足：对于圆C上任一点P，都有$\frac{|PN|}{|PM|}$为一常数$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查圆的方程，考查圆心轨迹方程，考查存在性问题的探究，考查学生的计算能力，属于中档题．
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