Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

 （n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想a_n，并用数学归纳法证明；
（Ⅲ）若数列b_n=

an

n

，求数列{b_n}的前n项和s_n．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用已知条件直接求解a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）观察第一问的结果，猜想a_n，如果用数学归纳法证明步骤证明即可；
（Ⅲ）化简数列b_n=

an

n

，利用裂项求和求数列{b_n}的前n项和s_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=

2an

2+an

，
∴a₂=

2a1

2+a1

=

2

3

，a₃=

2a2

2+a2

=

2

4

，a₄=

2a3

2+a3

=

2

5

．
（Ⅱ）猜想：a_n=

2

n+1

．
下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，a₁=

2

1+1

=1，等式成立．
2°假设当n=k时，a_k=

2

k+1

成立．
则n=k+1时，
a_k+1=

2ak

2+ak

=

4 k+1

2+ 2 k+1

=

4

2k+2+2

=

2

(k+1)+1

即n=k+1时，等式也成立，
由数学归纳法知：a_n=

2

n+1

对n∈N^*都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=

an

n

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

n+1

]
从而s_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2[1-

1

n+1

]=

2n

n+1

点评：本题考查数学归纳法的应用，归纳猜想以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．