Question

已知函数{an}满足：a1=2t，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…（其中t为常数且t≠0）．
（I）求证：数列{

1

an-t

}为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设bn=n•2nan，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，我们易变形为t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，进而得到

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

（为常数），由此得出结论．
（2）由（1）中结论，我们结合等差数列的通项公式，及已知中a₁=2t，得到数列{a_n}的通项公式．
（3）先求出 bn=n•2ⁿa_n=（n+1）t2ⁿ，再利用错位相减法进行数列求和，从而求得结果．

解答：解：（I） 证明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，即 t（t-a_n-1）=a_n-1（t-a_n）．
∵t-a_n-1≠0，∴

1

an- t

=

an-1

t(an-1-t)

，即

1

an- t

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

t

t(an-1-t)

，
∴

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

 （为常数），∴数列{

1

an-t

}为等差数列．
（II）由上可得数列{

1

an-t

}为等差数列．公差为

1

t

，∴

1

an- t

=

1

a1- t

+（n-1）

1

t

=

n

t

．
∴a_n =

t

n

+t．
（3）∵bn=n•2ⁿa_n=（n+1）t2ⁿ，
∴s_n=t[2×2¹+3×2²+…+（n+1）2ⁿ]①．
∴2s_n=t[2×2²+3×2³+…+n 2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]②．
①-②可得-s_n=t[[2×2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）2ⁿ⁺¹]=[2+（ 2ⁿ⁺¹-2）-（n+1）2ⁿ⁺¹]=-n 2ⁿ⁺¹，
∴s_n=n 2ⁿ⁺¹．

点评：本题考查的知识点是等差数列关系的确定，数列的求和，其中（1）的关键是根据等差数列的定义，判断出

1

an- t

-

1

an-1-t

=

1

t

（为常数），（2）的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，（3）的关键是根据数列{b_n}的通项公式确定使用错位相减法进行数列求和，属于中档题．