Question

设圆C₁的方程为（x-2）²+（y-3m）²=4m²，直线l的方程为y=x+m-1．
（Ⅰ）求C₁关于l对称的圆C₂的方程；
（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C₂的圆心在一条定直线上，并求C₂所表示的一系列圆的公切线方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ） 由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线C₁C₂的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C₂的方程即可；
（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C₂的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C₂所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C₂所表示的一系列圆的公切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆C₁的方程为（x-2）²+（y-3m）²=4m²，
∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m-1的对称点为（a，b），
则

b-3m a-2 ×1=-1 b+3m 2 = a+2 2 +m-1

，
解得a=2m+1，b=m+1，
∴圆C₂的圆心为（2m+1，m+1），
∴圆C₂的方程为：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²，
∴C₁关于l对称的圆C₂的方程：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²．
（Ⅱ）根据（Ⅰ） 得
圆C₂的圆心为（2m+1，m+1），
令

x=2m+1 y=m+1

，消去m得
x-2y+1=0，
它表示一条直线，
故C₂的圆心在一条定直线上，
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，
∴

|k•(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

=2|m|，
即：（1-4k）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
∴所以有：

1-4k=0 2(2k-1)(k+b-1)=0 k+b-1=0

，
解得

k= 1 4 b= 3 4

，
∴C₂所表示的一系列圆的公切线方程为：y=

1

4

x+

3

4

，
∴故所求圆的公切线为x=0或y=

1

4

x+

3

4

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C₂所表示的一系列圆的公切线方程．