Question

已知函数f（x）=+（a∈N^*），对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则正整数a的取值个数是________．

Answer 1

5
分析：对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可．
解答：∵a-x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]
对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可
∵f（x）=+≥0
∴[f（x）]²=a+2≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值
又x（a-x）≤[]²=，当x=a-x即x=时取等号
即[f（x）]²≤a+a=2a，f（x）≤，当x=时取最大值
∴（-1）＜1
∴＜=1+
∴a＜3+2
∵a∈N^*，
∴a=1、2、3、4、5
∴正整数a的取值个数是5个．
故答案为：5
点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于1．