Question

5．如果函数f（x）的对于任意实数x，存在常数M，使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，就称f（x）为有界泛函数．下列四个函数，属于有界泛函数的是（　　）
①f（x）=1②f（x）=x²③f（x）=（sinx+cosx）x④$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$．

• A． ①②
• B． ②④
• C． ③④
• D． ①③

Answer 1

分析 根据有界泛函数的定义，逐个验证，对于①取x=0，即可说明①不是有界泛函数；对于②采取反证法，f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函数；对于③利用三角函数的有界性即可证明③是有界泛函数；对于④求函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$的最大值即可证明④是有界泛函数；从而得到选项．

解答 解：函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
∴①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）²＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤$\sqrt{2}$|x|，故③是有界泛函数；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{4}{3}$|x|，故④是有界泛函数；
故选C．

点评 此题是个中档题．考查函数恒成立问题，以及三角函数的有界性和二次函数配方法求最值等基础知识，同时考查了学生的阅读能力，对题意的理解和转化能力，以及灵活应用知识分析解决问题的能力．