Question

已知).
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在实数，使在上的最小值是.

试题分析：（1）当时， ，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；
（2）函数在上是减函数，转化成在上恒成立；
令，解即得；
（3）假设存在实数，使在上的最小值是，根据，
讨论当、 、等三种情况时，令，求解即得.
（1）当时，           1分
,函数在点处的切线方程为   3分
（2）函数在上是减函数
在上恒成立       4分
令，有得              6分
                               7分
（3）假设存在实数，使在上的最小值是3
                         8分
当时，，在上单调递减，
（舍去)                           10分
当且时，即，在上恒成立，在上单调递减，（舍去)           11分
当且时，即时，令，得；，得
在上单调递减，在上单调递增
，满足条件              13分
综上所述，存在实数，使在上的最小值是.  14分