Question

20．长方体的三个面的面积分别是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，则长方体的体积是$\sqrt{6}$，对角线长是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由长方体的三个面的面积分别是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，列出方程组求出a，b，c，由此能求出长方体的体积和对角线长．

解答 解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
∵长方体的三个面的面积分别是$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{6}}\\{ac=\sqrt{3}}\\{bc=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．c=1．
∴长方体的体积V=abc=$\sqrt{3}×\sqrt{2}×1$=$\sqrt{6}$，
对角线长为：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3+2+1}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$；  $\sqrt{6}$．

点评 本题考查长方体的体积、对角线长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的结构特征的合理运用．