Question

5．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）由题设利用频率分布直方图能求出第一步组的频率，第4组的频率，第5组的频率．
（2）第3组的人数为300，第4组的人数为200，第5组的人数为100，第3，4，5组共有600名志愿者，利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，能求出第3，4，5组分别抽取的人数．
（3）设第3组的3位志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2位志愿者为B₁，B₂，第5组的1 位志愿者为C₁，从六位志愿者中抽两位志愿者，利用列举法能求出第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

解答 解：（1）由题设知第一步组的频率为：0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1．
（2）第3组的人数为0.3×1000=300，
第4组的人数为0.2×1000=200，
第5组的人数为0.1×1000=100，
第3，4，5组共有600名志愿者，
∴利用分层抽样在600名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：
第3组：$\frac{6}{600}×300=3$，
第4组：$\frac{6}{600}×200=2$，
第5组：$\frac{6}{600}×100=1$，
∴第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．
（3）设第3组的3位志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2位志愿者为B₁，B₂，
第5组的1 位志愿者为C₁，
则从六位志愿者中抽两位志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，C₁），（B₁，B₂），
（B₁，C₁），（B₂，C₁），共15种，
第4组至少有一名志愿者被抽中包含9种情况，
∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，难度不大，属于基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．