Question

17．如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知摄影爱好者的身高约为$\sqrt{3}$米（将眼睛S距地面的距离SA按$\sqrt{3}$米处理）
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角∠MSN是否存在最大值？若存在，求出∠MSN的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=$\sqrt{3}$，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2由题意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，结合余弦定理可得 $\frac{M{O}^{2}+S{O}^{2}-S{M}^{2}}{2MO•SO}$=-$\frac{N{O}^{2}+S{O}^{2}-S{N}^{2}}{2NO•SO}$，于是得SM²+SN²=26，可求∠MSN的最大值．

解答 解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=$\sqrt{3}$，故在Rt△SAB中，求得BA=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，OC=SCtan30°=$\sqrt{3}$，
又BC=SA=$\sqrt{3}$，故OB=2$\sqrt{3}$，即立柱的高度为2$\sqrt{3}$米．…（6分）
（2）∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴$\frac{M{O}^{2}+S{O}^{2}-S{M}^{2}}{2MO•SO}$=-$\frac{N{O}^{2}+S{O}^{2}-S{N}^{2}}{2NO•SO}$，于是得SM²+SN²=26
从而cos∠MSN=$\frac{S{M}^{2}+S{N}^{2}-M{N}^{2}}{2SM•SN}$≥$\frac{S{M}^{2}+S{N}^{2}-M{N}^{2}}{S{M}^{2}+S{N}^{2}}$=$\frac{11}{13}$，
∵∠MSN为锐角，∴∠MSN最大值为arccos$\frac{11}{13}$，

点评 本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．