Question

2．函数y=log_a（sinx+cosx），（0＜a＜1）的单调增区间为[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性，得到函数f（x）=sinx+cosx为一个角的一个三角函数的形式，然后根据函数的单调性求解即可．

解答 解：由0＜a＜1，得y=log_af（x）递减，
令f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）那么单调递减区间
2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，k∈Z
2kπ+$\frac{π}{4}$≤x＜2kπ+$\frac{3π}{4}$，
故f（x）的单调递减区间[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
根据复合函数同增异减的原则，
则y=log_a（sinx+cosx）在[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$）（k∈Z）递增，
故答案为：[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．

点评 本题考查复合函数的单调性，正弦函数的单调性，考查计算能力，是一道中档题．