Question

已知函f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函f（x）的最小值-7，求a的值和函f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先进行换元，还原以后写出新变量t的取值范围，则函数变化为关于t的二次函数，问题转化为二次函数的单调性和值域，根据二次函数的性质，得到结果．
（2）根据所给的x的范围，写出t的范围，根据二次函数的性质，写出函数在定义域上的最值，根据最小值的结果，做出a的值，进而得到函数的最大值．

解答：解：设a^x=t＞0
∴y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
（1）∵t=-1∉（1，+∞）
∴y=-t²-2t+1在（0，+∞）上是减函数
∴y＜1所以值域为（-∞，1）

（2）∵x∈[-2，1]a＞1
∴t∈[

1

a2

，a]由t=-1∉[

1

a2

，a]
∴y=-t²-2t+1在[

1

a2

，a]上是减函数-a2-2a+1=-7
∴a=2或a=-4（不合题意舍去）
当t=

1

a2

=

1

4

时y有最大值，
即y_max=-（

1

4

）²-2×

1

4

+1=

7

16

点评：本题考查函数的最值，考查二次函数的性质，考查指数函数的定义域，是一个综合题目，这种题目可以作为压轴题目的一部分．