Question

已知点P是椭圆上一动点，点F₁，F₂是椭圆的左右两焦点．
（1）求该椭圆的长轴长、右准线方程；
（2）一抛物线以椭圆的中心为顶点、椭圆的右准线为准线，求抛物线标准方程；
（3）当∠F₁PF₂=30°时，求△PF₁F₂的面积；
（4）点Q是圆F₂：（x-5）²+y²=25上一动点，求PF₁+PQ的最小值．

Answer 1

解：（1）∵椭圆
∴a=13，b=12，c=5，
∴长轴长26，右准线方x=…（4分）
（2）∵p=，p==67.6
∴抛物线标准方程y²=-135.2x…（8分）
（3）PF₁=r₁，PF₂=r₂，由题意2c=10，100=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos30°，r₁+r₂=26..（11分）
∴r₂r₁=576（2-）
∴△PF₁F₂的面积=r₂r₁sin30°=144（2-）…（13分）
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ）
故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，
由图可知，当三点P，F₂，Q共线时，PF₂-PQ最大，最大值为圆F₂：（x-5）²+y²=25的半径5
故PF₁+PQ的最小值为26-5=21…（16分）
分析：（1）由椭圆的标准方程得出a=13，b=12，c=5，从而得到长轴长26，右准线方x=；
（2）欲求抛物线标准方程，只须求出其焦参数p即可，由p=，p==135.2，最后写出抛物线标准方程；
（3）先设出PF₁=r₁，PF₂=r₂，由题意2c=10，利用余弦定理得出r₂r₁=576（2-），根据面积公式即可求得△PF₁F₂的面积；
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ），故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，由图可知，当三点P，F₂，Q共线时，PF₂-PQ最大从而得到PF₁+PQ的最小值．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、直线和圆的方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．