Question

（2013•静安区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²与b²的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P是椭圆上一动点，定点A₁（0，2），求△F₁PA₁面积的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．

Answer 1

分析：（1）利用c²是a²与b²的等差中项可得c2=a2-b2=

a2+b2

2

，设出直线方程，利用点到直线的距离公式，建立等式，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）当椭圆上的点P到直线F₁A₁距离最大时，△F₁PA₁面积取得最大值，设出平行直线，即可求得结论；
（3）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合判别式，即可得到结论．

解答：（1）解：在椭圆中，由已知得c2=a2-b2=

a2+b2

2

（1分）
过点A（0，-b）和B（a，0）的直线方程为

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，该直线与原点的距离为

3

2

，
由点到直线的距离公式得：

ab

a2+b2

=

3

2

（3分）
解得：a²=3，b²=1，
所以椭圆方程为

x2

3

+y2=1（4分）
（2）解：F1(-

2

，0)，直线F₁A₁的方程为y=

2

x+2，|F1A1|=

6

，
当椭圆上的点P到直线F₁A₁距离最大时，△F₁PA₁面积取得最大值（6分）
设与直线F₁A₁平行的直线方程为y=

2

x+d，将其代入椭圆方程

x2

3

+

y2

1

=1得：

7

3

x2+2d

2

x+d2-1=0，△=0，即8d2-

28

3

d2+

28

3

=0，解得d²=7，
所以当d=-

7

时，椭圆上的点P到直线F₁A₁距离最大为

2+ 7

3

，此时△F₁PA₁面积为

1

2

6

2+ 7

3

=

2 2 + 14

2

（9分）
（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-3=0，
由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）²-12（1+3k²）（t²-1）＞0，解得k2＞

t2-1

3

（11分）
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则x1+x2=-

6kt

1+3k2

，x1•x2=

3(t2-1)

1+3k2

，
因为以CD为直径的圆过E点，所以

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，（13分）
而y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2，
所以(k2+1)

3(t2-1)

1+3k2

-(tk+1)

6kt

1+3k2

+t2+1=0，解得k=

2t2-1

3t

（14分）
如果k2＞

t2-1

3

对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．(

2t2-1

3t

)2-

t2-1

3

=

(t2-1)2+t2

9t2

＞0，即k2＞

t2-1

3

．
所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查面积的最值，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．