Question

如图，在直角坐标系xOy中，△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）为正三角形，．
（1）求证：点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线上，并求该抛物线C的方程；
（2）设直线l过坐标原点O，点B₁关于l的对称点B′在y轴上，求直线l的方程；
（3）直线m过（1）中抛物线C的焦点F并交C于M、N，若，抛物线C的准线n与x轴交于E，求证：的夹角为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设B_n（x，y），先根据图形中三角形求得其坐标x，y，消去n得到x，y的关系，是一个抛物线方程，从而证得点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线上；
（2）由（1）得出B1的坐标，从而写出线段OB1的长度，再结合对称性求得对称点的坐标，最后根据直线的两点式方程写出直线方程即可；
（3）先设M，N在直线n上的射影为M'，N'，利用向量的运算证得向量：互相垂直，从而得出：的夹角为定值．
解答：解：（1）设B_n（x，y），则

（2）由（1）得，

（3）设M，N在直线n上的射影为M'，N'，
则有：．

点评：本小题主要考查抛物线的定义、向量在几何中的应用、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．