Question

如果函数f（x）对于任意x∈R，存在M使不等式|f（x）|≤M|x|恒成立（其中M是与x无关的正常数），则称函数f（x）为有界泛函，给出下列函数：
①f₁（x）=1；
②f2(x)=x2；
③f4(x)=

x

x2+x+1

；
④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f₁（x）-f₂（x）|≤2|x₁-x₂|，其中属于有界泛函的是

③④

（填上正确序号）．

Answer 1

分析：根据有界泛函数的定义，逐个验证，对于①取x=0，即可说明①不是有界泛函数；对于②采取反证法，f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函数；对于③求函数f(x)=

1

x2+x+1

的最大值即可证明③是有界泛函数；对于④，通过取x₂=0，如此可得到正确结论．从而得到答案．

解答：解：函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）²＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③f(x)=

x

x2+x+1

≤

4

3

|x|，故④是有界泛函数；
④当x=0，因||f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故正确；
故答案为：③④．

点评：此题是个中档题．考查函数恒成立问题，以及三角函数的有界性和二次函数配方法求最值等基础知识，同时考查了学生的阅读能力，对题意的理解和转化能力，以及灵活应用知识分析解决问题的能力．