Question

（2012•宿州一模）某旅行社组织了一个有36名游客的旅游团到安徽风景名胜地旅游，其中

3

4

是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有

1

3

玩过黄山，在省内游客中有

2

3

玩过黄山．
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1名 省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人的概率；
（2）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中省内游客玩过黄山的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）先确定省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山，再把“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”分解为互斥事件：“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”与“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”，即可求得概率；
（2）确定ξ的可能取值为：0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．

解答：解：（1）由题意得，省外游客有27人，其中9人玩过黄山；省内游客有9人，其中6人玩过黄山．
设事件B为“在该团中随机采访3名游客，恰有1省外游客玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”．事件A₁为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，0名省内游客玩过黄山”；事件A₂为“采访该团3人中，1名省外游客玩过黄山，1名省内游客玩过黄山”．
则P（B）=P（A₁）+P（A₂）=

C 1 9 C 2 21

C 3 36

+

C 1 9 C 1 6 C 1 21

C 3 36

=

9

34

+

27

170

=

36

85

!
所以在该团中随机采访3人，恰有1名省外游客人玩过黄山且省内游客玩过黄山少于2人”的概率是

36

85

．…（6分）
（2）ξ的可能取值为：0，1，2，3
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

3

14

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

15

28

，P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

∴Eξ=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2

点评：本题考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定ξ的可能取值，理解其意义．