Question

（2005•上海模拟）设数列{a_n}、{b_n}均为等差数列，且公差均不为0，

lim

n→∞

an

bn

=3，则

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

=

1

18

．

Answer 1

分析：设出等差数列{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁，d₂根据等差数列的通项公式再结合

lim

n→∞

an

bn

=3可得出

d1

d2

=3再根据等差数列的前n项和公式求出

b1b2+…+bn

na3n

=

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

再根据n→∞时

1

n

→0即可求出

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

的值．

解答：解：设等差数列{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁，d₂则a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂
∵

lim

n→∞

an

bn

=3
∴

lim

n→∞

a1-d1 n - d1

b1-d2 n -d2

=3
∴

d1

d2

=3
∵

b1b2+…+bn

na3n

=

nb1+ 1 2 n(n-1)d2

n[a1+(3n-1)d1]

=

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

∴

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

n•a3n

=

lim

n→∞

b1- 1 2 d2  n +  1 2 d2

a1-d1 n + 3d1

=

d2

6d1

=

1

18

故答案为

1

18

点评：本题主要考查了数列的极限．解题的关键是要先将等差数列{a_n}、{b_n}的公差分别设为d₁，d₂再根据

lim

n→∞

an

bn

=3可得出d₁，d₂的关系然后根据等差数列的求和公式和通项公式求出

b1b2+…+bn

na3n

的表达式后分子分母同时除以n²利用n→∞时

1

n

→0求解．