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如图,已知A(-3,0),B、C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足
AB
BQ
=0
BC
=
1
2
CQ

(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点,A′(3,0),求直线A′E、A′F的斜率之和.
(1)设点B、C、Q的坐标分别为(0,b)、(c,0)、(x,y),
AB
=(3,b)
BC
=(c,-b)
CQ
=(x-c,y)
BQ
=(x,y-b)

AB
BQ
=0
BC
=
1
2
CQ

3x+b(y-b)=0
-b=
1
2
y
,消去b得:y2=4x;
(2)设过过点A的直线方程为:y=k(x+3),
联立
y=k(x+3)
y2=4x
,消去y得:k2x2+(6k2-4)x+9k2=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
x1+x2=
4-6k2
k2
x1x2=9

kAE+kAF=
y1
x1-3
+
y2
x2-3

=
y1(x2-3)+y2(x1-3)
(x1-3)(x2-3)
=
k(x1+3)(x2-3)+k(x2+3)(x1-3)
x1x2-3(x1+x2)+9

=
2k(x1x2-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=
2k(9-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=0
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐标原点,C的右顶点和上顶点分别为A、B,且△AOB的面积为
5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P(4,0)作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N,交y轴于Q点,证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值,并求这个定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线l:y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B,C两点,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B2|=
7
S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线m过Q(1,1),且与椭圆相交于M,N两点,当Q是MN的中点时,求直线m的方程.
(Ⅲ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A,B的直线,|
OP
|=1
,是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
,直线l:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点.设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形.如果存在,求出实数m的取值范围,如果不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
6
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2

(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知F1,F2为椭圆x2+
y2
2
=1
上的两个焦点,A,B是过焦点F1的一条动弦,则△ABF2的面积的最大值为(  )
A.
2
2
B.
2
C.1D.2
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

曲线y=x2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是(  )
A.
5
5
B.
2
5
5
C.
3
5
5
D.
5

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F以及椭圆C2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O:x2+y2=1上.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的标准方程;
(2)过点F的直线交抛物线C1于A,B两不同点,交y轴于点N,已知
NA
=λ1
AF
NB
=λ2
BF
,则λ12是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.

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