Question

已知双曲线E的离心率为e，左、右两焦点分别为F₁、F₂，抛物线C以F₂为顶点，F₁为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，则e的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：作出图象，结合图象知抛物线准线的方程为x=3c，根据抛物线的定义可得|PF₁|=|PR|=3c-x，
根据双曲线的第二定义可得=e，由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得e=．
解答：解：如右图所示，设点P的坐标为（x，y），由抛物线以F₂为顶点，F₁为焦点，可得其准线的方程为x=3c，根据抛物线的定义可得|PF₁|=|PR|=3c-x，又由点P为双曲线上的点，根据双曲线的第二定义可得=e，即得|PF₂|=ex-a，由已知a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，可得-a²+3c²=8a²，即e²=3，由e＞1可得e=，
故选A．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要结合题设条件，作出图象，数形结合进行求解．