Question

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=

3

．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

Answer 1

分析：（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．
（2）以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，由题设条件分别求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出二面角F-BD-A的余弦值．
（3）求出向量

AD

和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F（0，

3

，

3

），B（-1，

3

，0），
∴

FB

=(-1，0，-

3

)，

FD

=(1，-

3

，-

3

)，
平面ABD的法向量

n

=(0，0，1)，设平面FBD的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m

•

FB

=0，

m

•

FD

=0，
∴

-x- 3 z=0 x- 3 y- 3 z=0

，解得

m

=(-

3

，-2，1)，
设二面角F-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

1× 3+4+1

|=

2

4

．
故二面角F-BD-A的余弦值为

2

4

．
（3）设点A到平面FBD的距离为d，
∵

AD

=(-1，-

3

，0)，平面FBD的法向量

m

=(-

3

，-2，1)，
∴d=

| AD • m |

| m |

=

3 3

2 2

=

3 6

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明、二面角的余弦值的求法、点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．