Question

12．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1）
（1）当k=e 时，求函数$h（x）=\frac{f（x）-g（x）}{x}$ 的极值；
（2）当k＞0 时，若对任意两个不等的实数x₁，x₂∈[1，2]，均有$|{\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}}|＞|{\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}}|$，求实数k 的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得函数$h（x）=\frac{f（x）-g（x）}{x}$ 在[1，e]上的最小值为$\frac{1}{2}$，若存在求出k 的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）不妨设x₁＞x₂，问题转化为$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}≥0$，从而求出k的最小值，得到k的范围即可；
（3）求出函数h（x）的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而判断结论即可．

解答 解：（1）注意到函数f（x） 的定义域为$（{0，+∞}），h（x）=lnx-\frac{{k（{x-1}）}}{x}（{x＞0}）$，
当k=e 时，$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$，若0＜x＜e，则h'（x）＜0；
若x＞e，则h'（x）＞0，所以h（x） 是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，
故h（x）_极小值=h（e）=2-e，故函数h（x）极小值为2-e，无极大值；…3分
（2）$\frac{f（x）}{x}=lnx$ 在[1，2]上是增函数，当k＞0 时，$\frac{g（x）}{x}=\frac{{k（{x-1}）}}{x}=k（{1-\frac{1}{x}}）$ 在[1，2]上是增函数，
不妨设x₁＞x₂，则$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}＞\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}$，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}＞\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}$ …5分
设$h（x）=\frac{f（x）}{x}-\frac{g（x）}{x}=lnx-\frac{{k（{x-1}）}}{x}（{1≤x≤2}）$ 在[1，2]上是增函数
转化为$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}≥0$，
在[1，2]上恒成立，k≤（x）_min=1，故实数k 的取值范围为（0，1]…8分
（3）$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}$，当k≤0 时，h'（x）＞0 对x＞0 恒成立，
所以h（x） 是（0，+∞） 上的增函数，h（x） 是[1，e]上的增函数，
h（x）_min=h（1）=0，不合题意，…9分
当k＞0 时，若0＜x＜k，h'（x）＜0；若x＞k，h'（x）＞0；
所以h（x） 是（0，k） 上的减函数，是（k，+∞） 上的增函数，…10分
（ⅰ）当k≥e 时，h（x） 是[1，e]上的减函数，$h{（x）_{min}}=h（e）=1-\frac{k（e-1）}{e}$，
令$1-\frac{k（e-1）}{e}=\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{e}{{2（{e-1}）}}$，不满足k≥e，舍去． …11分
（ⅱ）当1＜k＜e，h（x） 是（1，k） 上的减函数，是（k，e） 上的增函数，
h（x）_min=h（k）=lnk-k+1 …12分
令$μ（x）=lnx-x+1（{x＞0}），μ'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，当0＜x＜1 时，μ'（x）＞0；
当x＞1 时，μ'（x）＜0．所以μ（x） 是（0，1）上的增函数，是（1，+∞） 上的减函数，
故μ（x）≤μ（1）=0 当且仅当x=1 时等号成立，h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≤0，
故最小值不是$\frac{1}{2}$，不合题意．…14分
（ⅲ）当0＜k≤1 时，h（x） 是[1，e]上的增函数，h（x）_min=h（1）=0，不合题意，…15分
综上，不存在实数k，使得函数h（x）=f（x）-g（x） 在[1，e]上的最小值为$\frac{1}{2}$ …16分．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查学生的分析问题的能力和计算能力，是一道综合题．