Question

7．函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在实数x∈（1，+∞），满足f（x）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，f′（x）=e^x（2x+1）-1，f′（0）=0，且函数f′（x）在R上单调递增，即可得出函数f（x）的单调性；
（2）由f（x）＜0，则e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），由x＞1，化为a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，利用导数研究其单调性即可得出g（x）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2x+1）-a，
a=1时，f′（x）=e^x（2x+1）-1，
f′（0）=0，且函数f′（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）由f（x）＜0，则e^x（2x-1）-ax+a＜0，e^x（2x-1）＜a（x-1），
∵x＞1，∴a＞$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}（2x-1）}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{2x}^{2}-3x）}{{（x-1）}^{2}}$，
∴函数g（x）在（1，$\frac{3}{2}$）上单调递减；在（$\frac{3}{2}$，+∞）上单调递增．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（$\frac{3}{2}$）=4${e}^{\frac{3}{2}}$，
∴x＞1时，a＞4${e}^{\frac{3}{2}}$，
∴实数a的取值范围是（4${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．