Question

已知正项数列的前n项和满足：，
（1）求数列的通项和前n项和；
（2）求数列的前n项和；
（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

Answer 1

（1）∴           
（2）      （3）见解析

第一问中，由于所以
两式作差，然后得到
从而得到结论
第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。
第三问中，

又
   
结合放缩法得到。
解：（1）∵    ∴
∴
∴  ∴ ………2分
又∵正项数列，∴          ∴ 
又n=1时，
∴  ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分
∴                            …………………4分
∴                  …………………5分 
（2）      …………………6分
∴
                  …………………9分
（3）
  …………………12分
又
    ，
∴不等式  对任意的，都成立．