Question

（2013•昌平区一模）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．下表是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

Answer 1

分析：（I）算出甲厂抽取的样本中优等品有6件，从而得出优等品率即可．
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由古典概型分别求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（III）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率即可．

解答：解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为

6

10

=

3

5

乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为

5

10

=

1

2

…..（2分）
（II）ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

=

1

12

，P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

，P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

．
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

故Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

…（9分）
（III） 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P（A）=C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

) ×C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3=

27

500

P（B）=C

3 3

(

3

5

)3×C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2=

81

1000

抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P（A）+P（B）=

27

200

．…（13分）

点评：本题考查茎叶图、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．