Question

（2013•昌平区一模）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为

2

2

，且抛物线y2=4

2

x的焦点是椭圆M的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点．求点O到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，易求椭圆的焦点，从而可得c值，由离心率可得a，由b²=a²-c²可求得b值；
（Ⅱ）分情况进行讨论：当直线l存在斜率时设直线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，有△＞0①，设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
由四边形OAPB为平行四边形及韦达定理可把x₀，y₀表示为k，m的式子，代入椭圆方程关于k，m的方程，从而利用点到直线的距离公式点O到直线l的距离为k的函数，根据函数结构特点即可求得其最小值；当直线l不存在斜率时点O到直线l的距离易求，综上即可得到答案．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知抛物线的焦点为（

2

，0），则c=

2

，由e=

2

2

，得a=2，∴b²=2，
所以椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，
则由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（2+4k²-m²）＞0，①
设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则：x₀=x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

2m

1+2k2

，
由于点P在椭圆M上，所以

x02

4

+

y02

2

=1．
从而

4k2m2

(1+2k2)2

+

2m2

(1+2k2)2

=1，化简得2m²=1+2k²，经检验满足①式．
又点O到直线l的距离为：
d=

|m|

1+k2

=

1 2 +k2

1+k2

=

1- 1 2(1+k2)

≥

1- 1 2

=

2

2

，当且仅当k=0时等号成立，
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而点P的坐标为（-2，0）或（2，0），直线l的方程为x=±1，所以点O到直线l的距离为1．
所以点O到直线l的距离最小值为

2

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想、函数思想，韦达定理、判别式解决该类题目的基础，要熟练掌握．