Question

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer 1

解：（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以 =|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=-4y．故轨迹M的方程为x²=-4y．
（2）由（1）得y=x²，∴y′=x，
设D（x₀，），由导数的几何意义 得直线l的斜率为k_BC=，
则A（-x₀，），设C（x₁，），B（x₂，）．
则k_BC===x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC==，k_AB=，
∴k_BC+_AB=+==0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，
不妨设C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-=-（x+x₀），与x²=-4y联立方程组，
解得B点的坐标为（x₀-4，），∴|AB|=|x₀-4-（-x₀）|=2|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x₀+2|．
∴△ABC的面积为×|x₀+2|×2|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
当x₀=3时，B（（-1，），K_BC=，直线BC的方程为6x-4y+7=0；
当x₀=-3时，B（（-7，），K_BC=-，直线BC的方程为6x+4y-7=0；
分析：（1）设出动圆的圆心坐标，利用动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，列出方程化简即可得到所求轨迹方程．
（2）由（1）得y=x²，设D（x₀，），由导数的几何意义，得直线l的斜率，又A（-x₀，），设C（x₁，），B（x₂，）．利用斜率公式得到x₁+x₂=2x₀．从而有k_AB=-k_BC，即可证得∠BAD=∠CAD．
（3）根据条件：点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，将直线AB的方程与x²=-4y联立方程组，解得B点的坐标，求出|AB|，|AC|，最后根据△ABC的面积列出方程，解得x₀=±3，从而得出直线BC的方程．
点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．