Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝，椭圆H以A、B为焦点．且经过D．

(1)建立适当坐标系，求椭圆H的方程．

(2)若点E满足＝．问是否存在不平行于AB的直线l，与椭圆H交于M、N两点，且｜ME｜＝｜NE｜？若存在，求出直线l与AB夹角的范围；若不存在，说明理由？

Answer 1

答案：
解析：

如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系A(－1，0)，B(1，0) 　　设椭圆方程：＋＝1，令x＝cy0＝． 　　∴ 　　∴ 　　∴椭圆方程：＋＝1 　　(2)＝E(0，)，l⊥AB时，与题意不符， 　　∴设l：y＝kx＋m，(k≠0) 　　由(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0 　　M，N存在△＞0，即64k2m2－4(3＋4k2)·(4m2－12)＞04k2＋3≥m2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．MN中点F(x0，y0) 　　∴x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝ 　　∴｜ME｜＝｜NE｜MN⊥EF 　　∴＝－＝－m＝－ 　　∴4k2＋3≥ 　　∴4k2＋3≤4 　　∴0＜k2≤，即－≤k≤，且k≠0 　　∴l与AB的夹角范围