Question

17．若方程${2}^{7{x}^{2}-13x-m}$=（$\frac{1}{2}$）^-mx-2的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，则实数m的取值范围是（-4，-2）．

Answer 1

分析 由题意，方程可化为7x²-（13+m）x-（m+2）=0；令f（x）=7x²-（13+m）x-（m+2），从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-（m+2）＞0}\\{f（1）=7-（13+m）-（m+2）＜0}\\{f（2）=28-2（13+m）-（m+2）＞0}\end{array}\right.$；从而解得．

解答 解：∵${2}^{7{x}^{2}-13x-m}$=（$\frac{1}{2}$）^-mx-2，
∴${2}^{7{x}^{2}-13x-m}$=2^mx+2，
∴7x²-13x-m=mx+2；
即7x²-（13+m）x-（m+2）=0；
令f（x）=7x²-（13+m）x-（m+2），
又∵7x²-（13+m）x-（m+2）=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=-（m+2）＞0}\\{f（1）=7-（13+m）-（m+2）＜0}\\{f（2）=28-2（13+m）-（m+2）＞0}\end{array}\right.$；
∴-4＜m＜-2；
故答案为：（-4，-2）．

点评 本题考查了方程的化简与方程的根与函数的零点的关系应用，属于基础题．