Question

(本小题满分14分)

已知函数.（）

（Ⅰ）若函数有三个零点，且，，求函数 的单调区间；

（Ⅱ）若，，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围.

Answer 1

解（I）因为，又，

则   （1分）

因为x₁，x₃是方程的两根，则

，，.即        （3分）

从而：，ks*5u

所以.  ks*5u

令    解得：                               （4分）

当时，的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。     

当时，的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是（6分）

（Ⅱ）因为，，所以，即.

因为，所以，即.        （7分）

于是，，. (8分）

（1）当时，因为，

则在区间内至少有一个零点.         （9分）

（2）当时，因为，

则在区间（1，2）内至少有一零点.

故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.           （10分）

（Ⅲ）设m，n是导函数的两个零点，则，.

所以.

由已知，，则，即.

所以，即或.                （12分）ks*5u

又，，所以，即.

因为，所以.  ks*5u

综上分析，的取值范围是.                           （14分）