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一动圆和直线 $数学公式$ 相切，并且经过点 $数学公式$ ，
（Ⅰ）求动圆的圆心θ的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点P（2，0）且斜率为k的直线交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
求证：OM⊥ON．

解：（ I）∵动圆和直线 $\text{[math]}$ 相切，并且经过点 $\text{[math]}$ ，
∴圆心θ到 $\text{[math]}$ 的距离等于θ到定直线 $\text{[math]}$ 的距离，都等于圆的半径…（2分）
根据抛物线的定义，可得：圆心θ的轨迹C就是以F为焦点，l为准线的抛物线，…（3分）
设抛物线方程为y²=2px，其中 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得p=1
∴抛物线方程是y²=2x，即为所求轨迹C的方程．…（6分）
（ II）证明：设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为
y=k（x-2）（k≠0）①…（7分）
代入y²=2x消去y，可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②…（8分）
由根与系数的关系，得 $\text{[math]}$ ．…（9分）
结合 $\text{[math]}$ ，可得y₁y₂= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ =4．…（10分）
∴ $\text{[math]}$ =4-4=0，
由此可得向量 $\text{[math]}$ 夹角为90°，即OM⊥ON．…（12分）
分析：（I）根据圆的性质和抛物线的定义，可得动圆圆心θ的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．由此结合抛物线的标准方程加以计算，即可得到圆心θ的轨迹C的方程；
（II）设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为y=k（x-2），与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程．运用根与系数的关系算出x₁x₂、y₁y₂的值，从而得到 $\text{[math]}$ =0，所以 $\text{[math]}$ ，使结论得证．
点评：本题给出满足条件的动圆，求动圆的圆心θ的轨迹C的方程并证明OM⊥ON．着重考查了平面向量数量积的运算性质、抛物线的几何性质和轨迹方程求法等知识，属于中档题．

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甲校高二年级数学成绩：
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 10 25 35 30 x
乙校高二年级数学成绩：
分组 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 15 30 25 y 5
　（I）计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分（精确到1分）
（II）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”
甲校乙校总计
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非优秀
总计
附：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
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D.
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女
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