Question

（2013•虹口区二模）若-

π

2

≤α≤

π

2

，-

π

2

≤β≤

π

2

，m∈R，如果有α³+sinα+m=0，-β³-sinβ+m=0，则cos（α+β）值为（　　）

• A．-1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．1

Answer 1

分析：考查函数f（x）=x³+sinx为奇函数，利用导数求得f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数．由题意可得f（α）=-m，f（β）=m，可得f（α）=f（-β），故有α=-β，即α+β=0，从而求得cos（α+β）的值．

解答：解：考查函数f（x）=x³+sinx，由于f（-x）=（-x）³+sin（-x）=-（x³+sinx）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
由于函数f（x）的导数f′（x）=2x²+cosx，故当-

π

2

≤x≤

π

2

 时，f′（x）＞0，
故f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数．
∵-

π

2

≤α≤

π

2

，-

π

2

≤β≤

π

2

，m∈R，α³+sinα+m=0，-β³-sinβ+m=0，
∴f（α）=-m，f（β）=m，∴f（α）=-f（β）=f（-β）
∴α=-β，∴α+β=0，∴cos（α+β）=cos0=1，
故选D．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的值，属于中档题．