Question

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；②当定义域是，值域也是，则称是函数

的“好区间”.

（1）设（其中且），判断是否存在“好区间”，并

说明理由；

（2）已知函数有“好区间”，当变化时，求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）不存在“好区间”；（2）的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）先求出的定义域.可知要对分情况讨论，当时，定义域，在内是增函数；当时，定义域，在内还是增函数.从而得出，即方程在定义域内有两个不等的实数根，即在定义域内有两个不等的实数根.再用换元法，设，则相当于两个不等的实数根，即在内有两个不等的实数根,通过研究二次函数，发现在内有两个不等的实数根无解，所以函数不存在“好区间”；（2）函数有“好区间”，由于定义域为，或，易知函数在上单调递增，，所以是方程，即方程有同号的相异实数根，然后再用判别式求出的范围，再用韦达定理用表示出，结合的范围即可求出的最大值.

试题解析：（1）由.              2分

①当时，，此时定义域，，，

，，，

，，

，

在内是增函数；              4分

②当时，，此时定义域，

同理可证在内是增函数；              6分

存在“好区间”，

关于的方程在定义域内有两个不等的实数根.

即在定义域内有两个不等的实数根.(*)

设，则(*)，

即在内有两个不等的实数根，

设，则无解.

所以函数不存在“好区间”.               8分

（2）由题设，函数有“好区间”，

或，函数在上单调递增，

，所以是方程，即方程有同号的相异实数根. 12分

，同号，或.

,.

当，取得最大值.              16分

考点：1.函数的单调性；2.二次函数根的分布；3.韦达定理.