Question

12．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C-3cos（A+B）=1．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，b=3a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理和二倍角公式化解后因式分解，即可求解C的大小．
（2）利用余弦定理求解a，b的值，根据△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由cos2C-3cos（A+B）=1．
可得：2cos²C-1+3cosC=1，即2cos²C+3cosC-2=0
因式分解（2cosC-1）（cosC+2）=0，
得：cosC=$\frac{1}{2}$或cosC=-2（舍去）
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知C=$\frac{π}{3}$，c=$\sqrt{7}$，b=3a，
由余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$⇒$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}-7}{2×a×3a}$
解得：a=$\sqrt{2}$，则b=3$\sqrt{2}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角公式化解能力和因式分解计算能力，余弦定理的运用．