【题目】若数列满足n≥2时,,则称数列(n)为的“L数列”.
(1)若,且的“L数列”为,求数列的通项公式;
(2)若,且的“L数列”为递增数列,求k的取值范围;
(3)若,其中p>1,记的“L数列”的前n项和为,试判断是否存在等差数列,对任意n,都有成立,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)(1,+∞);(3)存在满足条件的等差数列,见解析
【解析】
(1)由题意知即,利用累乘法即可求得通项公式;(2)由可得,设,根据题意{bn}为递增数列,只需->0恒成立即可求得满足题意的k值;(3)根据的通项公式求出,利用放缩法及等比数列的前n项和公式可得,再次利用放缩可得,设,易证其为等差数列,结论成立.
(1)由题意知,即,
所以,
即数列的通项公式为.
(2)因为,且n≥2,n∈N*时,,所以,
设,n∈N*,所以1-.
因为{bn}为递增数列,所以对n∈N*恒成立,
即->0对恒成立.
因为-=,
所以->0等价于.
当0<k≤1时,因为n=1时,,不符合题意.
当k>1时,,所以,
综上,k的取值范围是.
(3)存在满足条件的等差数列,证明如下:
因为,k,
所以,又因为,所以,
所以,
即,因为,所以,
设,则,且,
所以存在等差数列满足题意.
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆,给出以下命题:
①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是
②当时,直线y=ax+2a与白色部分有公共点;
③黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点(x,y),则x+y的最大值为2;
④设点P(﹣2,b),点Q在此太极图上,使得∠OPQ=45°,b的范围是[﹣2,2].
其中所有正确结论的序号是( )
A.①④B.①③C.②④D.①②
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【题目】受突如其来的新冠疫情的影响,全国各地学校都推迟2020年的春季开学.某学校“停课不停学”,利用云课平台提供免费线上课程.该学校为了解学生对线上课程的满意程度,随机抽取了500名学生对该线上课程评分.其频率分布直方图如下:若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45.
(1)(i)求直方图中的a,b值;
(ii)若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意,判断该校学生对线上课程是否满意?并说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若采用分层抽样的方法,从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果,再从中选取2人进行跟踪分析,求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3,直线与椭圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点的直线与椭圆相交于,两点,若,问直线是否存在?若存在,求直线的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PAPD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:
(1)EF//平面PCD;
(2)平面PAB平面PCD.
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【题目】如图,在以,,,,,为顶点的五面体中,平面平面,,四边形为平行四边形,且.
(1)求证:;
(2)若,,直线与平面所成角为60°,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】某同学计划用他姓名的首字母,身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号设置一个六位的密码.若必选,且符号不能超过两个,数字不能放在首位和末位,字母和数字的相对顺序不变,则他可设置的密码的种数为( )
A.864B.1009C.1225D.1441
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)过曲线上一点作直线与曲线交于两点,中点为,,求的最小值.
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【题目】我国新型冠状病毒肺炎疫情期间,以网络购物和网上服务所代表的新兴消费展现出了强大的生命力,新兴消费将成为我国消费增长的新动能.某市为了了解本地居民在2020年2月至3月两个月网络购物消费情况,在网上随机对1000人做了问卷调查,得如下频数分布表:
网购消费情况(元) | |||||
频数 | 300 | 400 | 180 | 60 | 60 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图,并估计本市居民此期间网络购物的消费平均值;
(2)在调查问卷中有一项是填写本人年龄,为研究网购金额和网购人年龄的关系,以网购金额是否超过4000元为标准进行分层抽样,从上述1000人中抽取200人,得到如下列联表,请将表补充完整并根据列联表判断,在此期间是否有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关.
网购不超过4000元 | 网购超过4000元 | 总计 | |
40岁以上 | 75 | 100 | |
40岁以下(含40岁) | |||
总计 | 200 |
参考公式和数据:.(其中为样本容量)
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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