Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，AD=

2

a，AB=

3

a，SA=SD=a．
（1）求证：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）设E为SB的中点，求点B到平面ACE的距离．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点M，AD的中点P．以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明CD⊥SA．
（2）求出平面CSA的一个法向量和平面ADC的一个法向量．利用向量法能够求出二面角S-AC-D的余弦值．
（3）求出平面ACE的法向量和

AB

，利用向量法能求出点B到平面ACE的距离．

解答：解：（1）取BC的中点M，AD的中点P．
在△SAD中，SA=SD=a，P为AD的中点，所以，SP⊥AD．
又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．∴PM⊥AD．
如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，

2

2

a），A（

2

2

a，0，0），B（

2

2

a，

3

a，0），
C（-

2

2

a，

3

a，0），D（-

2

2

a，0，0）．
∴

CD

=(0，-

3

a，0)，

SA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)
因为

CD

•

SA

=0，
所以CD⊥SA．
（2）设

n

=（x，y，z）为平面CSA的一个法向量，
则有

2 2 ax- 2 2 az=0 2 ax-a 3 y=0

，所以

n

=(

3

，

2

，

3

)．
SP⊥平面ACD，所以

m

=（0，0，1）为平面ADC的一个法向量．
所以cos＜

n

，

m

＞=

3

8

=

6

4

，
所以二面角S-AC-D的余弦值为

6

4

．
（3）∵E为SB的中点，∴E（

2

4

a，

3

2

a，

2

4

a），
∴

AC

=（-

2

a，

3

a，0），

AE

=（-

2

4

a，

3

2

a，

2

4

a），
设平面ACE的法向量为

p

=（x₁，y₁，z₁），
则

- 2 ax1+ 3 ay1=0 - 2 4 ax1+ 3 2 ay1+ 2 4 az1=0

，解得

p

=（

3

，

2

，-

3

），
∵

AB

=（0，

3

a，0），
∴点B到平面ACE的距离d=

| AB • p |

| p |

=

6 a

8

=

3

2

a．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．