Question

【题目】已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由 ，所以b，即可求出椭圆方程及离心率；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2﹣2y＝0，即可证明。

（Ⅰ）由已知，得，所以，

又，所以

所以椭圆的标准方程为，离心率.

（Ⅱ）设，， ，

①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．

因为，，，

所以．

所以，即点与原点重合;

②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

由

得，．

所以.

则，

因为，，，

所以．

所以，．，，

消去得．

综上，点构成的曲线的方程为

对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．

把的坐标代入曲线的方程的左端：．

所以点也在曲线上．

所以由点构成的曲线关于直线对称.