Question

（2013•松江区一模）已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）在数列{d_n}中，d₁=1，且满足

dn

dn+1

=an+1（n∈N^*），求表中前n行所有数的和S_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），由a₁、a₂、a₄成等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1=n+1，对n∈N^*都成立，能推导出c_n=

4，n=1 2n，n≥2

，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解．

解答：解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴

a

2 2

=a1•a4…（2分）
由  （1+d）²=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）
∴a_n=n（n∈N^*）．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1=n+1，对n∈N^*都成立，
当n=1时，

c1

2

=2，得c₁=4，…（5分）
当n≥2时，由

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1=n+1，…①
及

c1

2

+

c2

22

+…+

cn-1

2n-1

=an=n，…②
①-②得

cn

2n

=1，得cn=2n…（7分）
∴c_n=

4，n=1 2n，n≥2

，
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₂=4+2²+2³+…+2²⁰¹²=2²⁰¹³…（8分）
（3）∵d₁=1，且满足

dn

dn+1

=an+1（n∈N^*），
∴

d1

d2

•

d2

d3

•…•

dn-1

dn

=

1

dn

=n!
∴d_n=

1

n!

根据图表可知S_n=

d1d1

d2

+

d1d2+d2d1

d3

+…+

d1dn+d2dn-1+…+dnd1

dn+1

=2+6+14+…+2ⁿ⁺¹-2
=2•2ⁿ⁺¹-2（n-2）
=2ⁿ⁺²-2n-4

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．