Question

已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为．

（Ⅰ）求在上的解析式；

（Ⅱ）求在上的最值

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）函数在[0,1]上的最大与最小值分别为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）考查具有奇偶性的函数在某个区间上的解析式，求其在关于原点对称的区间上的解析式的问题，抓住关键点，与的关系即可；（Ⅱ）考查关于函数在某个区间上的最值问题的求解问题，注意式子的转化和整体思维的应用．

试题解析：（Ⅰ）设x∈ [0,1]，则－x∈[－1,0]．

∴（－x）＝－＝4x－2x．

又∵（－x）＝－（x）

∴－（x）＝4x－2x．

∴（x）

所以，在 上的解析式为（x）．

（Ⅱ）当∈[0,1]，＝2x－4x＝2x－（2x）2，

∴设t＝2x（t>0），则f（t）＝t－t2．

∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．

当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0．

当t=0时，取最小值为-2．

所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，-2．

考点：1．具备奇偶性的函数的解析式的求解问题；2．有关指数函数和二次函数的复合函数在某个区间上的最值求解问题；3．整体思维的运用和换元的思想方法．