Question

1．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，E是BC中点，CB=CD，AB=AD．求证：
（1）BD⊥AC  
（2）OE∥平面ADC．

Answer 1

分析 （1）由已知可证明OC⊥BD，AO⊥BD，从而可证明BD⊥平面AOC，由AC?平面OAC，即可得证BD⊥AC．
（2）连接OE，OE为△BCD的中位线，即可证明OE∥DC，DC?平面ADC，从而可证OE∥平面ADC．

解答 解：（1）∵BC=CD，O为BD中点，
∴OC⊥BD，
又∵AB=AD，∴AO⊥BD，
而AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
AC?平面OAC，∴BD⊥AC．
（2）连接OE，∵E为BC中点，O为BD中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE∥DC，DC?平面ADC，
∴OE∥平面ADC．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．