Question

已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左、右焦点分别为F₁和F₂，P是它左侧分支上一点，P点到左准线距离为d．

(1)若y＝x是已知双曲线的一条渐近线，是否存在点P，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列？若不存在，说明理由．

(2)在已知双曲线的左分支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得b＝a，c＝2a， 　　∴e＝2．假设存在P(x，y)，使d，|PF1|，|PF2|成等比数列． 　　又d＝－x－＝－x－，|PF1|＝ed＝－2x－a，|PF2|＝2a＋|PF1|＝－2x＋a，则(－2x－a)2＝(－x－)(－2x＋a)，即4x2＋8ax＋3a2＝0．解得x＝－a或x＝－． 　　∵P是双曲线左支上的点，∴x≤－a，∴x＝－a． 　　代入－＝1得y2＝(－1)·3a2＝a2， 　　∴y＝±a． 　　∴点P存在，其坐标为(－a，±)． 　　(2)解法一：设存在P(x0，y0)且x0≤－a，使d，|PF1|，|PF2|成等比数列， 　　即|PF1|2＝d·|PF2|．由双曲线第二定义得 　　＝＝e，为P点到右准线的距离． 　　∴|PF1|＝ed，∴(ed)2＝d·，∴ed＝． 　　∴e(－－x0)＝－x0＋，∴x0＝． 　　∵x0≤－a，∴≤－a， 　　∴e2－2e－1≤0，∴1－≤e≤＋1． 　　又e＞1，∴1＜e≤＋1． 　　解法二：由解法一得|PF2|＝e|PF1|，又|PF2|－|PF1|＝2a， 　　∴|PF1|＜，|PF|＝． 　　∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|． 　　∴＋≥2c，∴e2－2e－1≤0，结合e＞1， 　　得1＜e≤＋1．